三角形的中线「三角形中线性质」

 

 

 

一、三角形中的五条重要线段

1.三角形的中线

定义:三角形顶点与对边中点的连线

 

 

 

2.三角形的高线

定义:过三角形一顶点做对边的垂线

 

 

 

3.三角形的中位线

定义:三角形两边中点的连线

 

 

 

 

 

 

4.三角形的角平分线

性质定理:

角平分线上的点到角两边的距离相等

 

 

 

5.三角形的垂直平分线

性质定理:

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

 

 

 

二、三角形中的四个重要心

由三角形中的五条重要线段就可以得到三角形中的四个重要心，分别是:重心、垂心、内心、外心。下面我用一个简单的思维导图，把三角形的四心归纳整合以进行对比。需要说明的是，掌握这四个心不是靠死记硬背，而是要数形结合，形成数学模型，理解记忆，并且弄清楚这四心之间的区别，以防相互混淆。

 

 

 

1.三角形的重心

定义:三角形中三条中线的交点

 

 

 

三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离是2:1

2.三角形的垂心

定义:三角形中三条高线(或其延长线)的交点

 

 

 

锐角三角形的垂心在三角形内部

直角三角形的垂心在直角顶点

钝角三角形的垂心在三角形外部

3.三角形的内心

定义:三角形中三条角平分线的交点

 

 

 

三角形的内心到三角形三边的距离相等，且等于内切圆的半径。

4.三角形的外心

定义:三角形中三条垂直平分线的交点

 

 

 

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。

 

 

 

如上图所示可得如下结论:

锐角三角形(△ABC)的外心G在三角形内部

直角三角形(Rt△ACF)的外心G在斜边AF中点处

钝角三角形(△ADE)的外心G在三角形外部